WISKUNST
wiskunde in beeld gebracht
wiskunde & muziek
pianostemming
versie  2.3

Stemmingsproblemen
De volgende tabel geeft aan hoe problemen ontstaan bij het stemmen van een piano.
Ga bijvoorbeeld vanuit de lage c (65.4Hz) enerzijds 4 boventonen en anderzijds 4 kwinten omhoog.
De frequenties van grondtoon en boventonen verhouden zich als 1 : 2 : 3: 4 : 5.
De frequenties van de kwinten zijn steeds 3/2 hoger.
Dan dan ontstaat het volgende beeld:

1 2 3 4 5
boventonen 65.4Hz 130.8Hz 196.2Hz 261.6Hz 327.0Hz
kwintenrij 65.4Hz 98.1Hz 147.2Hz 220.7Hz 331.1Hz

De 4e reine kwint komt uit op 65.4 x (3/2)4 = 331.1Hz en wijkt dus iets af van de
4e boventoon van 327.0Hz!
De vraag is: met welke frequenties moet er gestemd worden?
Pythagoras gebruikte destijds een systeem van zuivere kwinten. Muziektheoretici hebben zich eeuwenlang gebogen over
diverse systemen. Vanaf de 19e eeuw kwam de gelijkzwevende stemming in zwang en wordt nu algemeen toegepast.

Gelijkzwevende stemming
-  Bij deze stemming wordt het octaaf verdeeld in 12 precies evengrote intervallen van 21/12 ≈ 1.05946.
-  De A4 (dat is 49ste toets op een moderne piano met 88 toetsen) wordt gestemd op 440Hz.
-  Elke toon wordt bepaald door de vorige te vermenigvuldigen met (oplopend) of te delen door (aflopend) met 21/12.

Met uitzondering van het octaaf, zijn er bij deze stemming geen exact reine intervallen meer.
Zo is de kwint iets lager en de grote sext iets hoger.

Voorbeelden:
Als ƒ0 de frequentie van de grondtoon is, dan is de frequentie van een toon op n halve toonsafstanden ƒn = 2n/12 . ƒ0.

De kwint ligt op 7 halve toonsafstanden boven de grondtoon.
De frequentie van de reine kwint is 3/2 hoger en van de gelijkzwevende kwint 27/121.4983 keer hoger,
een afwijking van -0.113 %, zo gering dat het verschil nauwelijks te horen is.

De grote sext ligt op 9 halve toonsafstanden boven de grondtoon.
De frequentie van de reine sext is 5/31.67 keer hoger en van de gelijkzwevende sext 29/121.68 keer hoger, dat is +0.9 %.
Hieronder een geluidsvoorbeeld van een sext met A3 (220Hz) als grondtoon:
Na 3 sec. wordt de toon iets hoger  (van 366.7Hz naar 369.9Hz, van reine naar gelijkzwevende sext).
start
JW Player

Reine en gelijkzwevende stemming naast elkaar
De frequentieverhouding van het octaaf is 2/1 en wordt ook wel uitgedrukt in 1200 cent.
De halvetoonsafstand 21/12 komt dus overeen met 100 cent.
Hieronder een vergelijking van reine en gelijkzwevende stemming, uitgaande van grondtoon c.

toon interval
t.o.v. grondtoon c
ratio t.o.v. grondtoon c
rein
ratio t.o.v. grondtoon c
gelijkzwevend
cents meer dan
grondtoon c
afwijking
%
c prime 1/1 1 20/12 1 0 0 0
des kleine secunde 16/15 ≈ 1.0667 21/12 ≈ 1.0595 100 112 -0.68
d grote secunde 9/8 1.125 22/12 ≈ 1.1225 200 204 -0.23
es kleine terts 6/5 1.2 23/12 ≈ 1.1892 300 316 -0.91
e grote terts 5/4 1.25 24/12 ≈ 1.2599 400 386 +0.79
f reine kwart 4/3 ≈ 1.3333 25/12 ≈ 1.3348 500 498 +0.11
fis overmatige kwart 7/5 1.4 26/12 ≈ 1.4142 600 583 +1.02
g reine kwint 3/2 1.5 27/12 ≈ 1.4983 700 702 -0.11
as kleine sext 8/5 1.6 28/12 ≈ 1.5874 800 814 -0.79
a grote sext 5/3 ≈ 1.6667 29/12 ≈ 1.6818 900 884 +0.90
bes klein septiem 16/9 ≈ 1.7778 210/12 ≈ 1.7818 1000 996 +0.23
b groot septiem 15/8 ≈ 1.875 211/12 ≈ 1.8877 1100 1088 +0.68
c' octaaf 2/1 2 212/12 2 1200 1200 0


Enharmonisch verwisselbaar
Als gevolg van deze stemming zijn er 'slechts' 12 tonen per octaaf. Tonen die bij reine intervallen wel enigszins verschillen,
zijn nu gelijk aan elkaar, zoals bijv.  cis/des,  dis/es,  fis/ges,  gis/as. Op de piano zijn ze onder dezelfde toets te vinden.
Ze worden enharmonisch verwisselbaar genoemd. Uit de context van de partituur moet blijken welke toon het betreft.

Voor het spelen van bijvoorbeeld een gis of as op de piano maakt dat geen verschil. Maar een getrainde zanger of violist,
zonder begeleiding, zal (onbewust of bewust) gebruik maken van reine stemming, en dan is het verschil tussen een gis en as
wel degelijk uitvoerbaar en hoorbaar.
Gis: 773 cent, as 814 cent, een verschil van 41 cent. Een halve toon is 100 cent, dus 41 cent is bijna een kwart toon verschil!

Zuiver of onzuiver?
Op een piano die op deze manier is gestemd klinken alle toonsoorten even zuiver (of onzuiver). Het is een compromis.
Het voordeel is dat bij deze stemming door componisten en musici ongelimiteerd kan worden getransponeerd en gemoduleerd.
Aan die kleine onzuiverheden zijn onze oren zo gewend dat het ons doorgaans niet opvalt.

In tegenstelling tot pianisten kunnen bijvoorbeeld getrainde zangers en violisten wel een zuivere terts of kwint ten gehore
brengen. Zij kunnen dat toepassen bij a capella zang of bij solo-stukken, maar bij samenspel met vastgestemde instrumenten
zoals de piano zullen ze zich moeten richten naar de stemming van de piano. Een goed koor zal daarom een lichte voorkeur
hebben voor a capella zang (dus zonder pianobegeleiding) om zodoende reine intervallen te kunnen zingen, hetgeen de
helderheid van de koorklank zeker ten goede komt.


De komma van Pythagoras
Behalve de reeds eerder genoemde komma van Didymos, is er ook de komma van Pythagoras.
Die kan gevonden worden door vanaf dezelfde begintoon enerzijds 12 kwinten en anderzijds 7 octaven omhoog te gaan.

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
kwintenrij es bes f c g d a e b fis cis gis dis
octaven es es1 es2 es3 es4 es5 es6 es7

De frequentie van dis is (3/2)12 ≈ 129.7463x hoger dan van de lage es.
De frequentie van es7 is 27 = 128x hoger dan van de lage es.
De dis is dus iets hoger dan de es7.

Het verschil is 129.7463/128 ≈ 1.01364 en wordt de komma van Pythagoras genoemd.
Bij het pianostemmen (volgens de gelijkzwevende stemming) wordt dat verschil wegenivelleerd.

De komma van Pythagoras is iets groter dan de komma van Didymos, maar komt pas na een interval van 7 octaven tevoorschijn.